前回の記事では、加速度を一定とした場合のみ、従来のエネルギー保存則は成り立つというお話をしました。
◇エネルギー保存則は、等加速度の場合にのみ成り立つ、「条件的な」エネルギー保存則である。（１）
今回は、加速度が変動する場合に関して、具体的に見ていきます。
関数\( f(x)\) を多項式に変換する「テーラー展開」を行うと次のような式が成り立ちます。
$$f(x)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{\prime \prime \prime}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots$$
\( f(x)\) を\( x(t)\)、\( a=0\) として見ると、（\( a=0\) の場合をマクローリン展開という。）
$$x(t)=x(0)+x^{\prime}(0)(t-0)+\frac{x^{\prime \prime}(t)}{2!}(t-0)^2+\frac{x^{\prime \prime \prime}(0)}{3!}(t-0)^3+\cdots$$
$$x(t)=x(0)+x^{\prime}(0)t+\frac{x^{\prime \prime}(t)}{2!}t^2+\frac{x^{\prime \prime \prime}(0)}{3!}t^3+\cdots$$
$$x(t)=x(0)+v(0)t+\frac{1}{2}a(0)t^2+\frac{b(0)}{3!}t^3+\cdots$$
一般に、高校物理において、変位\(x\)と速度\(v\)、加速度\(a\)の公式として、\(x=x_0+v_0 t+\frac{1}{2} a_0 t^2\) の式が知られていますが、「等加速度」の場合であり、
この式は、実は、上で述べたテーラー展開の式において、三つ目までの項になっています。
すなわち、加速度の変化率である4つ目の項を無視してしまっています。そして、この項は、RAPT理論で嘘だと暴かれた「現代物理学」によって隠さていれた「ねじれエネルギー」を生みます。
そこで、物体が斜面を滑る場合を定加速度と変動する加速度の場合に分けて見てみましょう。
高度\(h\)の坂の頂きから、一定勾配\(θ\)の坂を球が転げ落ちて、坂下の高度\(0\)の地点に至った時の速度と運動エネルギーを計算すると
\( E_p=m g h\) \( (0)\) 高度\(h\)の出発点の位置エネルギー
\(E_m=\frac{1}{2} m v^2=\frac{1}{2} m 0^2 = 0\) \( (1)\) 出発点での運動エネルギーはゼロ
すなわち、出発地点において、エネルギー\(E\)の和（運動エネルギー＋位置エネルギー）は \(E = mgh\) となる。
\( F_g = mg\) \( (2)\) 球に働く重力
\( F_r = Fg\cosθ= mg\cosθ\) \( (3)\) 坂の表面からの垂直抗力
\( F_s =Fg\sinθ = mg\sinθ\) \( (4)\) 重力、垂直抗力の合力である坂の表面に沿った力
\( \frac{F_s}{m} = a_s = g\sinθ\) \( (5)\) その坂の表面に沿った力の加速度
\( v_s = \frac{dx}{dt} = (g\sinθ)t \) \( (6)\) その坂の表面に沿った球の速度
\( x_s = \frac{1}{2}(g\sinθ)t^2\) \( (7)\) 時刻tに於ける坂の頂上からの球の距離
一般には
\( x=x_0+v_0 t+\frac{1}{2} a_0 t^2\) \( (8)\)
\( \frac{h}{L} = \sinθ\) \( (9)\) 坂の高さと、坂の全slopeの長さと勾配\( θ\) の関係
\( L = \frac{h}{\sinθ}\) \( (10)\) 坂の全slopeの長さ
坂の下まで転げ落ちた瞬間には
\( x_s = L\)
\( \frac{1}{2}(g\sinθ)t^2 = \frac{h}{\sinθ}\) \( (11)\)
\(t^2 = (\frac{2h}{g})(\frac{1}{\sin^2 θ})\) \( (12)\)
\(t=\left(\sqrt{\frac{2 h}{g}}\right)\left(\frac{1}{\sin \theta}\right)\) \( (13)\)
式(13)を式(6)に代入する
\(v_s=(g \sin \theta)\left(\sqrt{\frac{2 h}{g}} \cdot \frac{1}{\sin \theta}\right)\)
\(=\sqrt{2 g h}\) \( (14\)
\(E_{m_0}=\frac{1}{2} m v_s^2=\frac{1}{2} m \sqrt{2 g h}^2)\)
\(= mgh\) \( (15)\)
よって定加速度運動の場合には位置エネルギーと運動エネルギーの和が出発地点と斜面を完全に転げ落ちた地点で、一定であるため、エネルギー保存則は成り立っています。
ここで注意すべきは、エネルギー保存則が成り立つのは定加速度運動という特殊な場合だけで、一般にエネルギー保存則は、定加速度を超えた一般的運動では全く成り立たなくなる点です。
変動する加速度として、4つ目までの項を、式に入れて計算してみると、
Kinetic equation\( (8)\) は正確には
\(x=x_0+v_0 t+\frac{1}{2} a_0 t^2+\frac{1}{3!} b_0 t^3\) \( (8‘)\)
\(\frac{F_s}{m}=a_s=\left(g+b_0 t\right) \sin \theta\) (\( (8‘)\) を \( t\)で2回微分 )
\(= g\sin\theta + (b_0\sin\theta)t\)
\(v_s = (g\sinθ)t + \frac{1}{2}(b_0\sinθ)t^2\)
\(x_s = \frac{1}{2}(g\sinθ)t^2 + (1/3!)(b_0\sinθ)t^3\)
\(x_s = \frac{h}{\sinθ}\)
\((\left(\frac{1}{3!}\right) b_0 \sin \theta)t^3 + \frac{1}{2}(g\sinθ)t^2 – \frac{h}{sinθ} = 0\)
\(at^3 + bt^2 – c = 0\) の形をしている。
この3次方程式を解くと
\( (\begin{aligned} & t=-\frac{b}{3 a}+\sqrt[3]{\frac{-2 b^3+27 a^2 c}{54 a^3}+\frac{\sqrt{3\left(27 a^2 c^2-4 b^3 c\right)}}{18 a^2}} \ & +\sqrt[3]{\frac{-2 b^3+27 a^2 c}{54 a^3}-\frac{\sqrt{3\left(27 a^2 c^2-4 b^3 c\right)}}{18 a^2}}\end{aligned}\)
\(a＝(\left(\frac{1}{3!}\right) b_0 \sin \theta)\)、\(b = \frac{1}{2}(g\sinθ)\)、\(c = – \frac{h}{sinθ}\)として、この先の\(v_s\)に代入し、
完全に転がり落ちたときの運動エネルギー\(E ＝ \frac{1}{2}mv_s^2\)
を計算した時、それは決して
\(E = mgh\)
にならない事は明らか。すなわち、一般的な運動である変動加速度の場合、エネルギー保存則は成り立ちません。
これまで見てきたように、そしてRAPT理論で明らかになった通り、「現代物理学」には多くの嘘が含まれています。
このような嘘を見分けるためには、絶対的な「真理」を拠り所とする必要があります。
RAPTブログは、相対性理論や量子力学などを始めとする、ノーベル物理学賞に権威付けられた「現代物理学」の欺瞞を、10年以上前から暴き、徹底的に糾弾してきました。
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